开集和闭集,开集和闭集图解

本文目录：

• 1、实变函数中什么是开集、闭集
• 2、怎么区分开集闭集?
• 3、为什么空集与全集即是开集又是闭集呢

1、实变函数中什么是开集、闭集

开集是说集合内的每一个点都是内点，比如开区间、开矩体、开球等。闭集是说所有的聚点都在集合E内，则称E为闭集，比如闭区间、闭矩体、闭球等。注意这里的包含关系。

领域，就是一个点附近的点的集合。(一般用圆表示)。闭集是所有的聚点都在集合里的集合，而开集的边界上的点也是聚点但不是开集上的点，这与闭集的定义矛盾。

闭集指的是集合内的点既有内点还有边界点。连通集可以直观的理解为没有被分割开的一个独立的点集。没有被分割开的一个独立的点集同时还是开集，则成为区域或开区域。

在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。 由此可以引申在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。不要混淆于闭流形。

实变函数闭集充要条件包含所有聚点的集合是闭集。由于收敛点列｛xn｝收敛域x0，那么x0是闭集F的聚点，当然属于F。这个是点集拓扑的内容，用到泛函这而已。连续映射的定义是，开集的原像是开集，取个补稍微推一下即可。

2、怎么区分开集闭集?

开集指的点集内全是内点。闭集指的是集合内的点既有内点还有边界点。连通集可以直观的理解为没有被分割开的一个独立的点集。没有被分割开的一个独立的点集同时还是开集，则成为区域或开区域。

在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。 由此可以引申在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。不要混淆于闭流形。

在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。 由此可以引申在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。不要混淆于闭流形。设A是度量空间X的一个子集。

闭集具有的性质是空集和全集都是闭集，有限个闭集的交集仍然是闭集，无限个闭集的并集仍然是闭集。闭集的例子：实数集上的闭区间，如[0，1]。整数集合。空集和全集。单点集，即只包含一个元素的集合。

因为E1为闭集（E1包含E的所有聚点），E2为开集（E2中只有E的内点），所以E3=E1-E2为闭集。

3、为什么空集与全集即是开集又是闭集呢

数学分析中，空集即是开集又是闭集是因为：空集和全集都没有临界值。

因为空集和全集都没有临界值。比如x3 x2 找不出一个数同时满足上述两个条件。

空集属于有限集，不含任何元素的集合成为空集。用符号Φ表示，考虑到空集是实数线（或任意拓扑空间）的子集，空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集，是它的子集，因此空集是闭集。